Второй закон ньютона для поступательного движения
Выше мы определили формулу для ускорения машины Атвуда. Она является справедливой только в том случае, если справедлив сам закон Ньютона. Проверить этот факт можно на практике, если провести лабораторную работу по измерению некоторых величин.
Лабораторная работа с машиной Атвуда является достаточно простой. Суть ее заключается в следующем: как только грузы, находящиеся на одном уровне от поверхности, отпустили, необходимо засечь время движения грузов секундомером, а затем, измерить расстояние, на которое переместился любой из грузов. Предположим, что соответствующие время и расстояние равны t и h. Тогда можно записать кинематическое уравнение равноускоренного движения:
h = a*t2/2.
Откуда ускорение определяется однозначно:
a = 2*h/t2.
Отметим, что для увеличения точности определения величины a, следует проводить несколько экспериментов по измерению hi и ti, где i – номер измерения. После вычисления значений ai, следует рассчитать среднюю величину acp из выражения:
acp = ∑i=1mai/m.
Где m – количество измерений.
Приравнивая это равенство и полученное ранее, приходим к следующему выражению:
acp = na*g.
Если данное выражение оказывается справедливым, то таковым также будет и второй закон Ньютона.
Лекция №3. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
2.1. Основное уравнение динамики поступательного движения
Динамика − раздел механики, в котором изучается движение тел под действием приложенных сил. Основной задачей динамики является определение кинематического уравнения движения материальной точки, если известны, приложенные силы к ней со стороны окружающих тел и начальные условия, положение и скорость тела в начальный момент времени.
В основе динамики лежат три закона И. Ньютона, которые являются результатом обобщения опытных данных и теоретических сведений в области механики. Для формулировки законов динамики необходимо дать определение следующих динамических характеристик: инертность, масса, импульс тела и сила.
Инертностью (или инерцией ) называется свойство тела сохранить неизменным состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Количественной мерой инертности тел является инертная масса ), а количественной мерой гравитационного взаимодействия яв-ляется гравитационной массы . К настоящему времени экспериментально показано, что инертная и гравитационная массы с большой степенью точности совпадают, т. е. они эквивалентны. Этот фундаментальный закон природы называется принципом эквивалентности .
Масса − это физическая величина, являющаяся мерой инерционных и гравитационных свойств тела. Единицей массы в СИ является килограмм: [m] = кг . Масса − величина аддитивная, т. е. масса тела равна сумме масс всех частей этого тела.
Импульс тела (или количество движения ) − это векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость
Единица измерения импульса в СИ — $$ <[p]>= <�кг×м \over c>$$ .
Сила − это векторная физическая величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате, которого тело деформируется или приобретает ускорение. Единица измерения силы в СИ − Ньютон $$ <[F]>= кг× <�м \over c^2>=H$$ . Сила, приложенная к телу, считается заданной, если указаны ее точка приложения, направление действия и численное значение.
Первый закон Ньютона (или закон инерции ), который формулируется следующим образом: всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока действие со стороны других тел не выведут его из этого состояния. Система отсчета, в которой выполняется первый закон Ньютона, называется инерциальной . Рассмотрим две системы отсчета, двигающиеся друг относительно друга с некоторым ускорением. Если относительно одной из них тело покоится, то относительно другой оно будет двигаться с ускорением. Получается, что в одной системе отсчета первый закон Ньютона выполняется, а в другой не выполняется. Любая система отсчета, движущаяся относительно некоторой инерциальной системы прямолинейно и равномерно будет также инерциальной. Системы отсчета, по отношению к которым первый закон Ньютона не выполняется, называются неинерциальными системами отсчета.
Второй закон Ньютона : ускорение тела прямо пропорционально результирующей сил приложенных к нему и обратно пропорционально его массе.
Скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе. Уравнения (2.1.2) и (2.1.3) являются математическим выражением второго закона Ньютона. Второй закон Ньютона позволяет решать основную задачу механики. Поэтому его называется основным уравнением динамики поступательного движения .
Третий закон Ньютона : сила, с которой одно тело действует на другое, равна по величине и противоположна по направлению силе, с которой второе тело действует на первое.
2.2. Преобразования Галилея. Механический принцип относительности
Рассмотрим две инерциальные системы XYZ (система К ) и X’Y’Z’ (система К’ ), первая из которых будет неподвижной, а вторая движется поступательно вдоль положительного направления оси 0X с постоянной скоростью υ0 . Найдем связь между координатами х, у, z некоторой точки M в системе К и координатами х’, у’, z’ . той же точки в системе К’ . Если начать отсчет времени с того момента, когда начала координат обеих систем совпадали, то, как следует из рис. 2.2.1 в момент времени t координаты точки М в этих системах будут связаны соотношениями
Формулы (2.2.1) называются преобразованиями Галилея для координат и времени. Они могут быть представлены также в виде обратного преобразования:
Из преобразований Галилея вытекает классический закон сложения скоростей. Продифференцировав соотношения (2.2.2) по времени, найдем связь между скоростями точки М по отношению к системам отсчета К и К’
Согласно векторному соотношению (2.2.3) скорость υ точки М относительно неподвижной системы координат (абсолютная) равна векторной сумме ее скорости υ’ относительно подвижной системы (относительная) и скорости υ0 подвижной системы относительно неподвижной (переносная).
Продифференцировав выражение (2.2.3) по времени t , получим при условии, что υ0 = const
Отсюда следует, что ускорение какого-либо тела во всех системах отсчета, движущихся друг относительно друга прямолинейно и равномерно, оказывается одним и тем же. Поэтому, если одна из этих систем инерциальна, то и остальные будут инерциальными.
Так как масса в классической механике не зависит от скорости, то произведение массы тела на его ускорение во всех инерциальных системах будет одинаковым, т. е. вид второго закона Ньютона, описывающего движение тела, будет одинаковым во всех инерциальных системах отсчета. Неизменность выражения для закона Ньютона отражает тот факт, что все механические явления во всех инерциальных системах отсчета протекают одинаково при одинаковых условиях. Другими словами − все инерциальные системы отсчета эквивалентны между собой. Это утверждение носит название принципа относительности Галилея (или механический принцип относительности ). Он означает, что никакими опытами внутри инерциальной системы отсчета невозможно установить покоится эта система или движется равномерно и прямолинейно. Принцип относительности справедлив не только для механических, но и для любых физических явлений.
Используя преобразования Галилея, можно показать, что отрезки длин (масштабы) и интервалы времени между двумя какими-либо событиями одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.
Понятие времени в классической механике является абсолютным, поэтому
Физические величины, не изменяющиеся при переходе от одной инерциальной системе к другой, называются инвариантными. Следовательно, отрезки длин и интервалы времени являются инвариантами классической механики.
2.3. Система материальных точек. Закон сохранения импульса
Механической системой называется совокупность материальных точек, рассматриваемых как единое целое. Силы взаимодействия между материальными точками механической системы называются внутренними . Силы, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела, называются внешними . Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой механической системой .
Импульс механической системы, представляет собой сумму импульсов всех материальных точек, входящих в механическую систему.
Рассмотрим систему материальных точек массами m1 , m2, …, mn , движущихся со скоростями υ1 , υ2 , …, υn . Пусть на каждую из этих точек действуют равнодействующие внутренних сил F 1 i , F 2 i , …, F n i , и равнодействующие внешних сил F 1 e , F 2 e , …, F n e .
Используя второй закон Ньютона для системы точек, запишем
Сложим эти уравнения:
Согласно третьему закону Ньютона, силы, действующие между материальными точками механической системы, будут равны и противоположно направлены, т. е. геометрическая сумма внутренних сил равна нулю.
С учетом выражения (2.3.1) получим закон изменения импульса механической системы : производная по времени от импульса механической системы равна векторной сумме внешних сил, действующих на систему.
В случае замкнутой механической системы,
Выражение (2.3.6) выражает закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы не изменяется с течением времени.
Закон сохранения импульса носит универсальный характер и выполняется также в релятивистской и квантовой механике. Закон сохранения импульса − это фундаментальный закон природы. Он является следствием определенного свойства симметрии пространства − его однородности. Под однородностью пространства понимают одинаковость свойств пространства во всех его точках.
2.4. Центр масс. Уравнение движения центра масс
В классической механике масса тела не зависит от его скорости движения, и импульс системы может быть выражен через скорость ее центра масс.
Центром масс (или центром инерции ) системы материальных точек называется воображаемая точка С , положение которой характеризует распределение массы этой системы, и радиус-вектор которой определяется выражением:
где mi и r i − масса и радиус-вектор i-ой точки системы; $$m = <\sum_^n>m_i$$ − суммарная масса системы.
Соотношения координат центра инерции системы равны
В случае непрерывного распределения массы в системе (например, в случае протяженного тела) радиус-вектор центра масс системы определяется выражением
где r − радиус-вектор малого элемента системы, масса которого равна dm , а интегрирование проводится по всем элементам системы, т. е. по всей ее массе m .
Определим скорость центра масс механической системы
Учитывая выражение (2.3.1) получим
Таким образом, импульс механической системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.
С учетом выражения (2.3.5) получим
Это выражение представляет собой закон движения центра масс : центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы, и на которую действует сила, равная векторной сумме всех внешних сил, приложенных к системе.
Закон движения центра масс показывает, что для изменения скорости центра масс системы необходимо, чтобы на систему действовала внешняя сила. Внутренние силы взаимодействия частей системы могут вызвать изменения скоростей этих частей, но они не могут повлиять на суммарный импульс системы и скорость ее центра масс.
Источник
Применение основного закона классической динамики
Рассмотрим тело, на которое действует несколько сил. Допустим, это машина, застрявшая в грязи. Ее пытается вытянуть вторая машина, зацепив ее тросом. Таким образом, первая машина стремится изменить свое количество движения под действием силы натяжения троса, силы тяги и сил трения. Так будет выглядеть формула второго закона Ньютона для первой машины:
$$m\vec{а}={\vec{T} \ + \vec{F_{тр}} + \vec{F_т}}$$
Или в скалярной форме:
$$mа={T – F_{тр} + F_т}$$
Теперь же предположим, что равнодействующая сил обращает в нуль (силы трения, силы тяги и силы натяжения нити). Тогда машина будет покоиться или двигаться равномерно и прямолинейно. Это утверждение можно расширить на случай системы тел: если при взаимодействии друг с другом частей системы внутренние силы суммарно равны нулю, а внешние силы скомпенсированы или не действуют, то система тел покоится или движется равномерно.
Законы динамики поступательного движения
Динамика изучает движение тел с учетом тех причин (взаимодействий между телами), которые обусловливают тот или иной характер движения. В основе классической (ньютоновской) механики лежат три закона динамики, сформулированные И. Ньютоном в XVII в. Законы Ньютона возникли в результате обобщения большого количества опытных фактов. Правильность их подтверждается совпадением с опытом тех следствий, которые из них вытекают.
Первый закон Ньютона формулируется следующим образом: всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние. Оба названных состояния объединяются тем, что ускорение тела равно нулю.
Учитывая, что характер движения зависит от выбора системы отсчета, следует сделать вывод, что первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета. Система отсчета, в которой выполняется первый закон Ньютона, называется инерциальной. Сам закон называют законом инерции. Система отсчета, в которой первый закон Ньютона не выполняется, называется неинерциальной. Любая система отсчета, движущаяся равномерно и прямолинейно относительно инерциальной системы, также является системой инерциальной. Поэтому инерциальных систем существует бесконечное множество.
Свойство тел сохранять состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения называется инертностью (инерцией). Мерой инертности тела является его масса m. Она не зависит от скорости движения тела. За единицу массы принят килограмм (кг) — масса эталонного тела.
Если состояние движения тела или его форма и размеры меняются, то говорят, что на тело действуют другие тела. Мерой взаимодействия тел служит сила . Всякая сила проявляется как результат действия одного тела на другое, сводящийся к появлению у тела ускорения или его деформации.
Второй закон Ньютона: результирующая сила, действующая на тело, равна произведению массы этого тела на его ускорение:
. (6.1)
Так как масса является скаляром, то из формулы (6.1) следует, что .
На основании этого закона вводится единица силы — ньютон (Н): .
Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета.
Заменим ускорение в уравнении (6.1) производной скорости по времени:
. (6.2)
(6.3)
называется импульсом тела.
Из формулы (6.3) следует, что направление вектора импульса совпадает с направлением скорости. Единица импульса — килограмм-метр на секунду (кг×м/c).
Объединяя выражения (6.2) и (6.3), получаем
. (6.4)
Полученное выражение позволяет предложить более общую формулировку второго закона Ньютона: действующая на тело сила равна производной импульса по времени.
Всякое действие тел друг на друга носит характер взаимодействия (рис. 6.1). Если тело действует на тело с некоторой силой , то и тело в свою очередь действует на тело с силой .
Третий закон Ньютона формулируется следующим образом: взаимодействующие тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению.
Эти силы, приложенные к разным телам, действуют по одной прямой и являются силами одной природы. Математическое выражение третьего закона Ньютона имеет вид
. (6.5)
Знак «-» в формуле (6.5) означает, что векторы сил противоположны по направлению.
В формулировке самого Ньютона третий закон гласит: «Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе — действия двух тел друг на друга между собою равны и направлены в противоположные стороны».
Дата добавления: 2015-08-08 ; просмотров: 1853 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
Источник
Определение силы натяжения нити
Сила T натяжения нити является одним из неизвестных параметров системы динамических уравнений. Выпишем еще раз эти уравнения:
F1 – T = m1*a;
T – F2 = m2*a.
Если в каждом равенстве выразить a, и приравнять оба выражения, тогда получим:
(F1 – T)/m1 = (T – F2)/m2 =>
T = (m2*F1 + m1*F2)/(m1 + m2).
Подставляя явные значения сил тяжести грузов, приходим к конечной формуле для силы натяжения нити T:
T = 2*m1*m2*g/(m1 + m2).
Машина Атвуда имеет не только теоретическую пользу. Так, подъемник (лифт) использует при своей работе контргруз с целью подъема на высоту полезного груза. Такая конструкция значительно облегчает работу двигателя.